(Pàgina 116)
EJERCICIO 53 : En una empresa se está discutiendo la
composición de un comité para negociar los sueldos
con la dirección. En el comité habrá
sindicalistas e independientes. El número total de
miembros no deberá ser inferior a 10 ni superior a 20. Al
menos un 40% del comité serán sindicalistas. El
número de independientes será como poco una cuarta
parte del de sindicalistas. a. ¿Qué combinaciones
de miembros de cada tipo puede tener el comité?. Plantea
el problema y representa gráficamente el conjunto de
soluciones. ¿Puede haber 4 sindicalistas y 16
independientes?. b. Si se quiere que el número de
independientes sea el mayor posible, ¿cuál
será la composición del comité? Ing.
José Luis Albornoz Salazar
– 15 – (Pàgina 118) EJERCICIO 54 : La empresa
“SURTIDORA” contrató a EL MARTILLO como
proveedor de llaves y cinceles en sus tiendas de artículos
automotrices. La demanda semanal de Surtidora consiste en al
menos 1.500 llaves y 1.200 cinceles. La capacidad actual de
“El Martillo”, en un turno, no basta para producir
las unidades que se le piden, y debe recurrir a tiempo extra y,
quizás, a subcontratar en otros proveedores de
herramientas. El resultado es un aumento en el costo de
producción por unidad, como se ve en la siguiente tabla.
La demanda del mercado limita la producción de cinceles a
llaves a un mínimo de 2 : 1. El área de acabado
tiene disponible 5.600 minutos, de los que cada unidad del
producto A utiliza 04 minutos y cada unidad de producto B consume
07 minutos. El área de ventas informa que pueden vender
cualquier cantidad del producto A; sin embargo, del producto B a
lo máximo se pueden vender 600 unidades. Los costos
variables de producción son de $. 24.00 para el producto A
y $.16.00 para el producto B. ¿Cuál es la forma
más productiva para fabricar estos productos, si sabemos
que los precios de venta son $ 32.00 y $ 23.00 del producto A y B
respectivamente? Indique: 1) Cantidad óptima que se debe
producir de A y B. y 2) Ganancia máxima. (Pàgina
121) EJERCICIO 56 : Tres sustancias X, Y y W contienen cuatro
ingredientes A, B, C y D. En la siguiente tabla están
dados los porcentajes de cada ingrediente y el costo por onza (en
centavos de dólar) de las tres sustancias: Sustancia A B C
D Costo/Onza Formule el problema como programación lineal
y determine el programa óptimo de producción para
cada herramienta. X Y W 20% 20% 10% 10% 40% 20% 25% 15% 25% 45%
25% 45% 25 35 50 ¿Cuántas onzas se deben combinar
de cada sustancia para obtener, con un costo mínimo, 20
onzas de la mezcla con un (Pàgina 120) EJERCICIO 55 : La
empresa ESETEC SAC se dedica a la fabricación de dos tipos
de productos A y B, en la que utiliza contenido de al menos.14%
de A. 16% de B y 20% de C ? ¿Con cuántas se
maximiza? los insumos X y Y. Para la elaboración del
producto A se necesita 01 unidad del insumo X y una unidad del
insumo Y; para el producto B se necesita 03 unidades del Insumo X
y 01 EJERCICIO 57 : (Pàgina 123) A un joven
matemático se le pidió que del insumo Y. Los
informes de los proveedores indican que se debe adquirir como
mínimo 600 unidades del insumo X y 400 del insumo Y. El
taller puede fabricar 1000 unidades del Producto A o 1200 del
producto B, o cualquier combinación de estos. Ejercicios
resueltos de PROGRAMACION LINEAL entreviste a un visitante en su
empresa durante tres horas, el pensó que sería una
excelente idea que el huésped se emborrachara. Se le
dieron al matemático 50 dólares para comprar la
bebida. El joven sabía que al visitante le gustaba mezclar
sus tragos pero que siempre bebía menos de 8 vasos de
cerveza, 10 de ginebra, 12 de whiskys y 24 de martinis. El Ing.
José Luis Albornoz Salazar
vaso. – 16 – tiempo que empleaba para beber era de 10 minutos por
cada El costo de bebidas son: $1.00 el vaso de cerveza, $2.00 el
vaso de ginebra, $4.00 el vaso de whiskys y $3.00 el vaso de
martini. El matemático pensó que el objetivo
sería maximizar el consumo alcohólico del
huésped. Logró que un amigo químico le diese
el contenido alcohólico de las bebidas en forma
cuantitativa, siendo las unidades alcohólicas de 8, 15, 16
y 7 por vaso de cerveza, ginebra, whisky y martini
respectivamente. El visitante siempre bebía un
mínimo de 2 whiskys. ¿Cómo resolvió
el problema el joven? muestra, además, el nivel requerido
de financiamiento (en millones de pesos). Esas cifras representan
la cantidad máxima de que se dispone para cada proyecto.
La oficina federal puede conceder a cada proyecto una suma que no
rebase esa cifra. Observando estas disposiciones, el presidente
ha ordenado financiar el proyecto nuclear por lo menos en el 50%
de la suma solicitada. El administrador de la dependencia
gubernamental tiene mucho interés en el proyecto solar y
ha pedido que la cantidad combinada que se conceda a estos
proyectos sea como mínimo de 300 millones de pesos. El
problema consiste en determinar las sumas de dinero que se
otorgaran a cada proyecto con objeto de maximizar los beneficios.
(Pàgina 124) EJERCICIO 58 : Una oficina federal cuenta con
un presupuesto de mil millones de pesos para otorgarlo como
EJERCICIO 59 : (Pàgina 126) Una compañía se
dedica a la fabricación subsidio destinado a la
investigación innovadora en el campo de la búsqueda
de otras formas de producir energía. Un equipo gerencial
integrado por científicos y economistas efectuó una
reseña preliminar de 200 solicitudes, reduciendo los
candidatos a seis finalistas. Los seis proyectos han sido
evaluados calificados en relación con los beneficios que
se espera conseguir de ellos en los próximos 10
años. Los beneficios estimados se dan en la siguiente
tabla: de 4 productos : P1, P2, P3 y P4, utilizando para ello 2
materias primas : M1 y M2, cuyas disponibilidades semanales
están limitadas a 1000 y 1200 unidades respectivamente. La
materia prima que precisa la fabricación de una unidad de
cada una unidad de cada uno de los productos se muestra en la
siguiente tabla : Proyecto 1 2 3 4 5 6 Clasificación del
Proyecto Solar Solar Combustibles sintéticos Carbón
Nuclear Geotérmico Utilidad por peso invertido 4.4 3.8 4.1
3.5 5.1 3.2 Nivel de financiamiento (en millones de pesos) 220
180 250 150 400 120 Además, los costos de
fabricación de cada unidad de producto (que incluyen los
costos de la materia prima y otros) se han evaluado en 75, 60, 40
y 30 unidades monetarias respectivamente. La próxima
semana la compañía debe atender un pedido de 100
unidades de P1, 110 de P2, 120 de P3 y 90 de P4, lo que supera
claramente su capacidad de producción. Por esta
razón, está considerando la posibilidad de adquirir
algunos de estos Así el valor 4.4 asociado al proyecto 1,
indica que por cada peso que se invierta en ese proyecto, se
obtendrá una utilidad de 4.40 durante los próximos
diez años. La tabla Ejercicios resueltos de PROGRAMACION
LINEAL productos a un competidor, cuyos productos tienen las
mismas características que los que fabrica la
compañía. Este competidor sólo puede
suministrar unidades de los productos Ing. José Luis
Albornoz Salazar
– 17 – P1, P2 y P3, y los ofrece a 85, 65 y 30 u.m. por unidad,
respectivamente. Plantear un modelo que permita determinar
cuántos productos de cada tipo debe elaborar la
compañía y cuántos debe comprar para
satisfacer la demanda de este pedido de manera que se minimicen
los costos totales. (Pàgina 128) EJERCICIO 60 : Un
fabricante tendrá que atender cuatro pedidos de
producción, A, B, C, y D, en este mes. Cada trabajo puede
ser llevado a cabo en cualquiera de los tres talleres. El tiempo
necesario para completar cada trabajo en cada (Pàgina 130)
EJERCICIO 61 : Web Mercantile vende muchos productos para el
hogar mediante un catálogo en línea. La
compañía necesita un gran espacio de almacén
para los productos. Ahora planea rentar espacio para los
siguientes 5 meses. Se sabe cuánto espacio
necesitará cada mes; pero como varía mucho, puede
ser más económico rentar sólo la cantidad
necesaria cada mes con contratos mensuales. Por otro lado, el
costo adicional de rentar espacio para meses adicionales es menor
que para el primero, y puede ser menos costoso rentar el espacio
máximo los 5 meses. Otra opción es el enfoque
intermedio de cambiar la cantidad total de espacio rentado (con
un nuevo contrato y/o la terminación del anterior) al
menos una vez pero no cada mes. El espacio requerido y los costos
para los periodos de arrendamiento son los siguientes: uno de
esos talleres, el costo por hora y la cantidad de horas
disponibles que tendrá cada taller durante este mes
aparecen en la siguiente tabla. El objetivo es minimizar el costo
total de arrendamiento para cumplir con los requerimientos.
También existe la posibilidad de dividir cada uno de los
trabajos entre los distintos talleres, en cualquier
proporción que se desee. Por ejemplo, una cuarta parte del
trabajo A puede hacerse en 8 horas en el taller 1. EJERCICIO 62 :
(Pàgina 132) Don K-NI es el presidente de una firma El
fabricante desea determinar la cantidad de horas de cada trabajo
que deberán realizarse en cada taller, para minimizar el
costo total de terminación de los cuatro trabajos.
Identifique las variables de decisión, formule un modelo
de PL para este problema y finalmente resuélvalo.
Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL de inversiones
personales, que maneja una cartera de valores de un cierto
número de clientes. Un cliente nuevo ha solicitado
recientemente que la firma le maneje una cartera de $100.000,00.
Al cliente le gustaría limitar su cartera a una
combinación de las tres acciones que se muestran en la
tabla. Ing. José Luis Albornoz Salazar
– 18 – Sobre la base del mantenimiento y la disponibilidad de
Formular un programa de programación lineal que permita
tomar la mejor decisión para maximizar las utilidades
totales que se obtengan de la inversión. (Pàgina
133) EJERCICIO 63 : Una fábrica de aparatos
electrónicos puede tener una producción diaria de
televisores de pantalla plana mínima de 300 y
máxima de 600; en lo que se refiere a televisores con
pantalla de cristal liquido la producción diaria
fluctúa entre 200 y 500 unidades. Para mantener una
calidad optima en su producto debe de fabricar un máximo
de 900 unidades entre ambos tipos de televisor. El costo de
producción de un televisor de pantalla plana es de $
3,400.00. y el de pantalla de cristal liquido es de $ 5,600.00.
Cada televisor de pantalla plana se vende a $ 6000.00, y cada
televisor de pantalla de cristal liquido se vende a $ 10800.00.
La fábrica desea maximizar las utilidades. En base a dicha
información: escriba un planteamiento para resolver por
programación lineal. (Pàgina 134) EJERCICIO 64 :
Rich Oil Company, cerca de Cleveland, suministra gasolina a sus
distribuidores en camiones. La compañía
recientemente recibió un contrato para iniciar el
suministro de 800.000 galones de gasolina por mes a
distribuidores de Cincinnati. La compañía tiene
$.500.000 disponibles para crear una flota consistente en 3 tipos
diferentes de camiones. En la siguiente tabla se muestra la
capacidad relevante, costo de compra, costo operativo y
número máximo de viajes por cada tipo de
camión. Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL
conductores, la compañía no desea comprar
más de 10 vehículos para su flota. Asimismo, la
compañía desearía asegurarse que se compren
al menos 3 de los camiones del tipo 3. Finalmente, la
compañía no desea que más de la mitad de la
flota sea de camiones del tipo 1. Como gerente de operaciones,
formule un modelo para determinar la composición de la
flota que minimice los costos operativos mensuales al tiempo que
satisfaga las demandas, no saliéndose del presupuesto y
satisfaciendo los requerimientos de las otras
compañías. (Pàgina 135) EJERCICIO 65 : Un
frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20
de manzanas. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer
sus necesidades, pero solo venden la fruta en contenedores
completos. El mayorista “A” envía en cada
contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de
manzanas. El mayorista “B” envía en cada
contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 7 de
manzanas. Sabiendo que el mayorista “A” se encuentra
a 150 km. de distancia y el mayorista “B” a 300 km.
Obtener el modelo de programación lineal y calcular
cuántos contenedores habrá que comprar a cada
mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al
mínimo la distancia de lo solicitado. (Pàgina 136)
EJERCICIO 66 : El dietista de un hospital desea preparar un
platillo de maíz y calabazas que proporcione al menos 3 gr
de proteínas y no cueste más de US $0.36 por
ración. Una onza de maíz con crema proporciona 0.5
gr. de proteína y cuesta US Ing. José Luis Albornoz
Salazar
1 $0.04. una onza de calabazas proporciona 0.25 gr. de
proteínas y cuesta US $0.03. Para un buen sabor se
necesitan al menos 2 onzas de maíz y la misma cantidad de
calabaza que de maíz, es importante que el número
de onzas por ración sea lo más Si se puede o no
cumplir el pedido. Y ¿Cómo sería la
distribución del estampado de tela en los dos tipos de
máquinas para maximizar los beneficios del pedido?
pequeño posible. Halle la combinación de
maíz y calabaza que hace mínimo el tamaño de
la ración. EJERCICIO 68 : (Pàgina 140) El DISTRITO
METRO es una dependencia que administra la distribución de
agua en cierta región geográfica grande. La
región es bastante árida, por lo (Pàgina
137) EJERCICIO 67 : El “Estampado SA”, una
tintorería textil que se dedica a hacer trabajos por
pedidos, cuenta con dos tipos de estampadoras: rápidas y
lentas. Dispone de 60 estampadoras rápidas y 40 lentas.
Aclaremos que estampar consiste en imprimir dibujos con colores
sobre tela cruda, de modo que el rollo de tela cruda va pasando
por la estampadora y ésta le va imprimiendo el dibujo con
los colores y formas seleccionados. Estampado SA ha tomado dos
trabajos para hacer: Dibujo Snoopy y dibujo Scooby. Cada uno de
estos estampados se puede hacer en una máquina de
cualquiera de los dos tipos, sólo que la eficiencia
será distinta según el tipo. Una máquina
rápida estampa 12 m de dibujo Snoopy por hora. Una
máquina lenta estampa 6 m de dibujo Snoopy por hora. Una
máquina rápida estampa 8 m. de dibujo Scooby por
hora. Una máquina que el distrito debe comprar y traer
agua desde fuera de ella. Las fuentes de esta agua importada son
los ríos 1, 2 y 3. El distrito revende el agua a los
usuarios de la región. Sus clientes principales son los
departamentos de agua de las ciudades A, B, C y D. Es posible
hacer llegar agua a cualquiera de estas ciudades desde cualquiera
de los tres ríos, con la excepción de que no hay
forma de abastecer a la ciudad “D” con agua del
río “3”. Sin embargo, dada la
distribución geográfica de los acueductos y las
ciudades en la región, el costo del abastecimiento para el
distrito depende tanto de la fuente como de la ciudad a la que
abastece. En la tabla siguiente se dan los costos variables por
acre-pie de agua para cada combinación de río y
ciudad. A pesar de estas variaciones, el precio que el distrito
cobra por acre-pie es independiente de la fuente de agua y es el
mismo para todas las ciudades. lenta estampa 4 metros de dibujo
Scooby por hora. Una misma estampadora (sea rápida o
lenta) no puede destinarse en el mismo día a trabajar en
dos tipos distintos de dibujo. Río Cdad.A 16 Cdad. B
Cdad.C 13 22 Cdad.D Recursos 17 50 El costo por hora de
energía para las máquinas rápidas y
Río 2 14 13 19 15 60 lentas son $4 y $3, respectivamente.
El costo para la máquina rápida es mayor debido a
que ésta requiere una mayor potencia. Los costos de tintes
para Snoopy y Scooby son de $2.2 y $3.2 por metro de tela cruda,
respectivamente. Cada metro de tela estampada con Snoopy se vende
a $6 y Río 3 Mín.necesario Solicitado 19 30 50 20
70 70 23 0 30 NO 10 infinito 50 un metro de tela estampada con
Scooby se vende a $8. Para mañana le han pedido a
Estampado SA que entregue 3000 metros de tela Snoopy y 3100
metros de Scooby. Tiene todo el día de hoy (ocho horas)
para trabajar. Formule el problema de programación lineal
para determinar: Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL La
administración del distrito tiene que resolver el problema
de cómo asignar el agua disponible durante el
próximo verano. En la columna del lado derecho de la tabla
se dan las cantidades disponibles en los tres ríos, en
unidades de un millón de acres-pie. El distrito se
compromete a proporcionar Ing. José Luis Albornoz Salazar
– 19 –
– 20 – una cantidad mínima para cumplir con las
necesidades esenciales de cada ciudad (con la excepción de
la ciudad “C”, que tiene una fuente independiente de
agua); estas necesidades mínimas se muestran en la tabla.
La fila de solicitado indica que la ciudad “B” no
quiere más agua que la que cubre sus necesidades
mínimas, pero la ciudad “A” compraría
hasta 20 más, la ciudad “C” hasta 30
más y la ciudad “D” compraría toda la
que pudiera obtener. La administración desea asignar toda
el agua disponible de los tres ríos de manera que por lo
menos se cumpla con las necesidades mínimas de cada ciudad
y al mismo tiempo minimizar los costos. (Pàgina 141)
EJERCICIO 69 : Un comerciante debe entregar a sus tres hijas 90
manzanas para que las vendan. – Fátima recibirá 50
manzanas, – Cunda recibirá 30 manzanas y – Siha
recibirá 10 manzanas. Las tres hijas deben vender las
manzanas al mismo precio y deben obtener la misma utilidad por la
venta, bajo la siguiente condición de mercadeo: Si
Fátima vende una porción de 7 manzanas por 1
dólar y otra porción a 3 dólares por cada
manzana, sus hermanas deben hacer lo mismo. (Pàgina 144)
CÓMO INSTALAR “SOLVER” EN LA HOJA DE
CÁLCULO EXCEL 2007 (Pàgina 146) DESPLIEGUE Y
SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE TRANSPORTE EN LA HOJA DE
CÁLCULO EXCEL Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL
Nota : El ejercicio 25 explica (de manera más detallada
que los demás) el DESPLIEGUE Y SOLUCIÓN DEL MODELO
MATEMÁTICO DE PROGRAMACIÓN LINEAL EN LA HOJA DE
CÁLCULO EXCEL: Ing. José Luis Albornoz
Salazar
y ; 2 Xa = Xb – 21 – EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN
LINEAL . Para facilitar la elaboración del modelo
matemático en La Programación Lineal (PL)
recomendamos lectura y análisis de las siguientes 12
consideraciones: 8) La capacidad de espacio de almacenamiento en
la fábrica es de 200 productos: Xa + Xb < = 200 9) La
materia prima me permite fabricar un máximo de 160
unidades: Xa + Xb < = 160 10) El producto A necesita 2
unidades de materia prima “w” y el producto B
necesita 3 unidades de la misma materia prima, la disponibilidad
de la materia prima “w” en los depósitos de la
empresa es de 800 unidades: 2 Xa + 3 Xb < = 800 Si llamamos:
Xa = Producto A Xb = Producto B 11) Si “Z” representa
la utilidad total y la utilidad del producto A es de Bs 20,oo y
la utilidad del producto B es de Bs 25,oo : Z = 20 Xa + 25 Xb 12)
Si se venden 50 productos A y 60 productos B la utilidad
será : Exprese algebraicamente : 1) Hoy fabriqué 60
unidades de cada producto: Xa = 60 Xb = 60 Z = 20 (50) + 25 (60)
= 1000 + 1500 Z = Bs 2.500,oo 2) La producción total fue
de 120 productos: EJERCICIO 1 : La tienda de comestible BK vende
dos Xa + Xb = 120 3) Para que sea rentable tengo que producir por
lo menos 50 productos A y 55 tipos de bebidas: La marca sabor a
cola A1 y la marca propia de la tienda, Bk de cola, más
económica. El margen de utilidad en la bebida A1 es de 5
centavos de dólar por lata, mientras que la bebida
productos B: 4) La capacidad de producción es de 180
unidades Xa > = 50 ; Xb > = 55 Xa + Xb < = 180 de cola
Bk suma una ganancia bruta de 7 centavos por lata. En promedio,
la tienda no vende más de 500 latas de ambas bebidas de
cola al día. Aún cuando A1 es una marca más
conocida, los clientes tienden a comprar más latas de la
marca Bk, porque es considerablemente más
económica. Se calcula que las ventas de la marca Bk
superan a las de la marca A1 en una razón 2:1 por lo 5)
Los clientes compran más productos A que productos B : Xa
> = Xb 6) Por cada producto A que se venda se venden dos
productos B : (Recordar “Razón de
proporcionalidad”) 7) Las ventas del producto A superan las
del producto B cuando menos en 30 menos. Sin embargo, BK vende,
como mínimo, 100 latas de A1 al día. ¿
Cuántas latas de cada marca debe tener en existencia la
tienda diariamente para maximizar su utilidad ?. Respuesta:
unidades: Xa > = Xb + 30 En la pregunta, al final del
enunciado, se identifican claramente las variables de
decisión ya que se hace referencia a las dos marcas de
bebidas de cola en lata. Ejercicios resueltos de PROGRAMACION
LINEAL Ing. José Luis Albornoz Salazar
(1) – (1) (3) – 22 – A1 = Latas de bebida A1 que debe tener la
tienda en existencia diariamente. A2 = Latas de bebida Bk que
debe tener la tienda en existencia diariamente. El objetivo es
incrementar al máximo la utilidad por la venta de los dos
tipos de bebidas. Se menciona que la utilidad es de 5 centavos
por lata de A1 y 7 centavos por lata de Bk. La ecuación
que representa la utilidad total por concepto de ventas de latas
de estas bebidas será: Z = 5 A1 + 7 A2 Ahora analizamos el
enunciado del ejercicio buscando las condiciones o restricciones
que limitan las ventas de dichas bebidas: Nota: Es bueno
recomendar que las restricciones se expresen de manera tal que
las incógnitas queden del lado izquierdo de la desigualdad
o ecuación y los términos independientes
(números) del lado derecho. Esta recomendación nos
facilitará el uso de las hojas de cálculo u otros
métodos de resolución (método simplex,
programas computarizados, etc.). – En promedio la tienda no vende
más de 500 latas de ambas bebidas al día: A1 + A2
< = 500 – Los clientes tienden a comprar más latas de
la marca Bk : El Modelo de Programación Lineal (MPL)
quedará expresado como: MAXIMIZAR : Z = 5 A1 + 7 A2 Sujeto
a: A1 + A2 < = 500 (1) – A1 + A2 > = 0 (2) – 2 A1 + A2 >
= 0 (3) A1 > = 100 (4) Y a la condición de no
negatividad que implica que todas las variables de
decisión sean positivas (valores mayores o iguales a cero)
A1 , A2 > = 0 (5) Solución Gráfica: El problema
tiene solamente dos variables de decisión, A1 y A2, y por
lo tanto sólo dos dimensiones, así que podemos usar
un procedimiento gráfico para resolverlo. Dicho proceso
consiste en dibujar un gráfico en dos dimensiones,
utilizando a A1 y A2 como los ejes. El primer paso consiste en
identificar los valores de A1 y A2 permitidos por las
restricciones, esto es, la región o área factible
de solución determinada por las restricciones. Recuerde
que las restricciones de no negatividad ( A1 > = 0 ; A2 > =
0) limitarán la región factible a estar en el
cuadrante positivo (conocido como primer cuadrante). A2 > = A1
(atendiendo la nota anterior) – A1 + A2 > = 0 (2) -Las ventas
de Bk superan a las ventas de A1 en una razón de 2:1 por
lo menos (Ver y analizar el ordinal 6 de la página 3 ) :
A2 > = 2 A1 (atendiendo la nota anterior) – 2 A1 + A2 > = 0
– Se venden como mínimo 100 latas de A1 al día: A2
500 Estudiando la primera restricción A1 + A2 = 500 A1 +
A2 < = 500 El área sombreada representa el espacio de
solución factible de A1 + A2 < = 500 A1 > = 100 (4)
500 A1 Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL Ing.
José Luis Albornoz Salazar
– (3) 500 A2 A2 A1 – 23 – El procedimiento más recomendado
consiste en trazar la recta (“generada por la
restricción”) y sombrear el lado factible y a medida
que vayamos Estudiando la restricción 3: – 2A1 + A2 > =
0 graficando nuevas rectas “borramos” el área
sombreada anteriormente que no cumpla con esta nueva
restricción. En el gráfico anterior notamos que el
punto (100,200) cumple con la restricción (100 + 200 <
500) por lo que todos los que están en el primer cuadrante
y del lado izquierdo de la recta también. – 2 A1 + A2 = 0
El área sombreada representa el espacio de solución
factible de – 2 A1 + A2 > = 0 A1 + A2 < = 500 – A1 + A2
> = 0 – A1 + A2 = 0 – A2 Estudiando la restricción 2: –
A1 + A2 > = 0 (2) A1 + A2 = 500 500 El área sombreada
representa el espacio de solución factible de A1 + A2 <
= 500 y – A1 + A2 > = 0 500 A1 – Estudiando la
restricción 4: – A1 + A2 = 0 A1 > =100 (4) A1 + A2 =
500 A1 = 100 – 2 A1 + A2 = 0 El área sombreada representa
el espacio TOTAL de solución 500 A1 500 El punto (100,200)
cumple con la restricción dos (-100 +200 > 0) y ya
vimos que cumple con la restricción 1. Sin embargo el
punto (200,100) cumple con la restricción 1 (200+100 <
500) pero NO cumple con la restricción 2 (-200+100 no es
mayor que 0) por lo tanto no estará dentro del espacio de
solución. El estudiante debe recordar que para formar
parte del espacio de solución o área factible los
puntos deben cumplir con todas las restricciones que se vayan
estudiando. El último aspecto señalado permite
garantizar que la solución encontrada cumpla con todas las
restricciones o limitaciones que impone el Modelo
Matemático. Nótese también que a medida que
se van analizando las restricciones el espacio factible
(área sombreada) se hace menor. JAMAS crecerá.
Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL – A1 + A2 = 0 A1 + A2
= 500 500 Definida como ha sido el área total de
factibilidad, el último paso consiste en escoger el punto
de dicha región que maximiza el valor de la función
objetivo. En un “punto de esquina” de esta
área sombreada se encuentra el “punto óptimo
de solución”, es decir el punto que contiene el
valor de A1 y A2 que cumpliendo con todas las restricciones me
permitirá obtener el máximo valor de Z.
(Zmáx.) Ing. José Luis Albornoz Salazar
; (4) – 24 – Para determinar este “punto de esquina”
se utiliza un procedimiento de ensayo y error que consiste en
darle valores arbitrarios a la función objetivo (Z) y al
graficarla generará una recta que OBLIGATORIAMENTE es
paralela a la recta de la “FUNCIÓN OBJETIVO
ÓPTIMA” (Zmáxima) y que en el caso de
maximización será la que contenga al ya mencionado
punto de esquina que esté ubicado en la recta paralela mas
alejada del origen (en el caso de minimización será
la que esté más cerca del origen). Para fijar mejor
la idea de cómo realizar este procedimiento graficaremos
dos rectas: El punto óptimo (donde Z alcanza el
máximo valor) es la intersección de las rectas (1)
y (4) representado por el par ordenado ( 100 , 400 ) , donde: A1
= 100 y A2 = 400 Lo que significa que para maximizar su utilidad
la tienda debe tener en existencia diariamente 100 latas de
bebida A1 y 400 latas de bebida Bk. La máxima utilidad se
calcula sustituyendo estos valores en la función objetivo
(Z). Z = 3.500 = 5 A1 + 7 A2 y, Z = 5 A1 + 7 A2 Z = 5 (100) + 7
(400) Z = 3.100 = 5 A1 + 7 A2 . Antes de seguir el procedimiento
es bueno aclarar que estos valores que se asignen a Z no tienen
ninguna relevancia ni representan ningún dato importante
de la solución del problema. Repetimos, son valores
arbitrarios que únicamente nos ayudan a visualizar la
pendiente de la recta de la función objetivo. (No deben
confundirla con Zmáx.. que es el error más
común que cometen los estudiantes). A2 (4) Punto
óptimo A2 500 Zmáx = 3.300,oo centavos de
dólar. Zmáx = $ 33,oo Punto óptimo (100,400)
(3) (2) Zmáx = 3.300 500 (3) (2) Z = 3.500 Z = 3.100 500
(1) A1 A1 500 (1) Al seguir “trazando” rectas
paralelas “invisibles” notaré que el punto de
esquina buscado es la intersección de las rectas (1) y (4)
y que puede calcularse resolviendo un sistema de dos ecuaciones y
dos incógnitas: DESPLIEGUE Y SOLUCIÓN DEL MODELO
MATEMÁTICO EN LA HOJA DE CÁLCULO EXCEL: Para
facilitar las “consultas posteriores” se recomienda
identificar los cuadros en Excel, para ello utilizamos las dos
primeras filas. A1 + A2 = 500 (Ecuación 1) Coloque en la
FILA 3 los valores que acompañan las incógnitas o
A1 = 100 (Ecuación 4) variables de decisión en la
función objetivo Z. Ejercicios resueltos de PROGRAMACION
LINEAL Ing. José Luis Albornoz Salazar
– 25 – Introduzca las fórmulas en las celdas G5, G6, G7 y
G8 ; ellas reflejarán los valores que adquieren las
condiciones de restricción una vez resuelto el problema.
Introduzca las restricciones que aparecen en el modelo
matemático. – Celda G5 – Celda G6 =B5*B12+C5*C12
=B6*B12+C6*C12 Introduzca “ceros” en las celdas donde
desea se reflejen los resultados de – Celda G7 – Celda G8
=B7*B12+C7*C12 =B8*B12+C8*C12 A1 y A2 (en este caso B12 y C12).
(En la hoja de cálculo se reflejarán
“ceros” inicialmente) Introduzca la fórmula de
la función objetivo en la celda G12. Ejercicios resueltos
de PROGRAMACION LINEAL – G12 =B3*B12+C3*C12 Ing. José Luis
Albornoz Salazar
– 26 – Para calcular el valor de Z máximo, se utiliza una
herramienta que incluye Excel llamada “ SOLVER”. Para
correr el Solver se elige ¨SOLVER” en el menú
“Herramientas”. En caso de que su computador no
muestre en el menú “Herramientas” el comando
“Solver”, busque en dicho menú el comando
“Complementos” e instale “Solver”. Una
vez instalado haga clic en “Solver” y se
mostrará un cuadro de diálogo
“Parámetros de Solver”. En ella se
reflejará el valor de Zmáximo una vez aplicado
“Solver”. Inicialmente reflejará cero. Una vez
que se introduce el modelo en la hoja de cálculo, es
sencillo analizar soluciones potenciales. Cuando se dan valores a
las variables de decisión (celdas B12 y C12), la columna
“G” muestra de inmediato los valores de cada
condición de restricción (celdas G5 hasta G8) y la
celda G12 muestra la ganancia total. Haga una prueba con este
ejercicio y coloque 10 en las celdas B12 y C12 respectivamente.
Si ha llenado bien su hoja de cálculo en la pantalla de su
PC aparecerán los valores que mostramos a
continuación: Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL
Antes de que “Solver” pueda resolver el problema,
necesita conocer con exactitud, donde se localizan los
componentes del modelo en la hoja de cálculo. Es posible
escribir las direcciones de las celdas o hacer clic en ellas. En
el espacio superior izquierdo del cuadro de diálogo
mostrado, donde se solicita la celda objetivo coloque $G$12. En
los círculos blancos donde se solicita el “valor de
la celda objetivo” indique “Máximo”. El
modelo matemático pide maximizar Z.(haga clic sobre la
palabra máximo). En el espacio central izquierdo, donde se
solicita “cambiando las celdas” indique las celdas
donde se propuso anteriormente que se mostraran los resultados de
cada incógnita. En este caso son las celdas B12 y C12,
coloque $B$12:$C$12. Ing. José Luis Albornoz Salazar
– 27 – Haga clic en “Aceptar”. Este procedimiento se
hará tantas veces como sea necesario en atención al
número de restricciones que presente el modelo. $G$7 >
= $E$7 En el espacio en blanco, en la parte inferior izquierda,
“Sujetas a las siguientes Restricciones” indique las
restricciones o condiciones del problema, para lo cual haga clic
en “Agregar”. En este momento aparecerá en la
pantalla el cuadro de diálogo “Agregar
Restricción”. $G$8 > = $E$8 Coloque: $G$5 < =
$E$5 Sea muy cuidadoso al introducir las restricciones, sobre
todo con los signos de desigualdad o igualdad (es el error
más común que se comete). Ahora el cuadro de
diálogo resume el modelo completo. Se le está
“ordenando” al programa que A1 + A2 debe ser menor a
500 Haga clic en “Aceptar”. Regresará en la
pantalla el cuadro “Parámetros de Solver”,
vuelva a hacer clic en “Agregar” y volverá a
aparecer “Agregar Restricción”, coloque ahora:
$G$6 > = $E$6 Antes de pedir a ¨Solver” que resuelva
el modelo, se elige el botón “Opciones” y
aparecerá el cuadro de diálogo “Opciones de
Solver”. Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL Ing.
José Luis Albornoz Salazar
– 28 – Y aparecerá la hoja de resultados: Este cuadro
permite especificar las opciones para resolver el modelo. Lo
más importante son las opciones “Adoptar Modelo
Lineal” y “Asumir no negativos”
(asegúrese de hacer clic sobre ellos). Con un clic en
“Aceptar” se regresa al cuadro de diálogo
“Parámetros de Solver”. Los resultados de este
ejercicio se “leen” de la siguiente manera: A1 = 100
A2 = 400 Para maximizar la utilidad la tienda debe tener en
existencia 100 latas de la marca A1 y 400 latas de la marca Bk.
Ahora todo está listo para hacer clic en
“Resolver” y después de unos segundos Solver
indicará los resultados en las celdas B12 y C12, y en la
celda objetivo (G12) aparecerá el valor máximo de
la función objetivo (Zmáx). En el cuadro final
“Resultados de Solver”, haga clic en
“Aceptar”. Ejercicios resueltos de PROGRAMACION
LINEAL La utilidad máxima que obtendrá al vender
las cantidades indicadas anteriormente será de 3300
centavos de dólar. Zmáx = 3.300,oo Ing. José
Luis Albornoz Salazar
: (1) (2) (3) S – 120 80 – 29 – EJERCICIO 2 BFC emplea a cuatro
carpinteros 2 M + 0,5 S < = 80 durante 10 días para
ensamblar mesas y sillas. Se requieren 2 horas para ensamblar una
mesa y 30 minutos para ensamblar una silla. – Los clientes
compran entre 4 y 6 sillas con cada mesa Por lo común, los
clientes compran entre cuatro y seis sillas con cada mesa. Las
utilidades son de $ 135 por mesa y $ 50 por silla. La ( 4 M <
= S = < 6 M ): 4M <= S compañía opera un
turno de 8 horas al día. Determine gráficamente la
mezcla de producción óptima de los 10 días.
Respuesta: Las variables de decisión estarán
representadas como: M = Mesas a ensamblar durante 10 días.
(colocando las incógnitas del lado izquierdo) 4M- S <=
0 S<=6M (colocando las incógnitas del lado izquierdo)
-6M +S <= 0 – Condición de no negatividad que implica
que todas las variables de decisión sean positivas
(valores mayores o iguales a cero) S = Sillas a ensamblar durante
10 días. M ; S >= 0 (4) Se entiende que buscar la
mezcla óptima de producción es aquella que genere
mayores beneficios. Por lo que el Modelo de PL tendrá que
enfocar MAXIMIZAR la función objetivo (Z). Solución
Gráfica: La función objetivo relacionará
entonces la utilidad de cada variable de decisión: Z =
$135 M + $50 S Sujeta a las siguientes restricciones: Antes de
abordar las restricciones es bueno señalar las unidades de
160 Estudiando la restricción 1: 2M + 0,5 S = 80 2 M + 0,5
S < = 80 (1) tiempo en que vamos a trabajar. Se recomienda
trabajar en horas y hacer las siguientes observaciones: – – 30
minutos = 0,5 horas. La compañía opera 8 horas al
día y empleará 10 días para ensamblar mesas
y sillas. El tiempo total de trabajo será de 80 horas 40
(8 x 10): – Tiempo de ensamblaje: Se requieren 2 horas para
ensamblar una mesa y 30 minutos para ensamblar una silla y el
tiempo total disponible es de 80 horas: – 10 20 30 40 50 M
Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL Ing. José Luis
Albornoz Salazar
– – – (3) ; 80 40 – 30 – Estudiando la restricción 2:
Utilizando el procedimiento de ensayo y error para: 4M – S<=0
(2) S Z = 5.000 S 160 (1) (3) (2) 160 120 Punto óptimo 120
80 4M – S = 0 2 M + 0,5 S = 80 80 40 Zmáx Z = 5.000
40 M 10 20 30 40 50 M 10 20 30 40 50 El punto óptimo
(donde Z alcanza el máximo valor) es la
intersección de las Estudiando la restricción 3:
-6M + S<=0 rectas (1) y (3) representado por el par ordenado (
16 , 96) , donde: M = 16 y S = 96 Lo que significa que para
maximizar su utilidad BFC debe ensamblar 16 S 160 -6M+S =0 mesas
y 96 sillas durante los 10 días. La máxima utilidad
se calcula sustituyendo estos valores en la función
objetivo (Z). 120 4M – S = 0 Z = 135 M + 50 S Z = 135 (16)
+ 50 (96) Zmáx = $ 6.960,oo 2 M + 0,5 S = 80 DESPLIEGUE Y
SOLUCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO EN LA HOJA DE
CÁLCULO EXCEL: El procedimiento es similar al utilizado en
el Ejercicio 1. 10 20 30 40 50 M Coloque en la FILA 3 los valores
que acompañan las incógnitas o variables de
decisión en la función objetivo Z. Ejercicios
resueltos de PROGRAMACION LINEAL Ing. José Luis Albornoz
Salazar
– G12 – 31 – Introduzca las restricciones que aparecen en el
modelo matemático. Introduzca “ceros” en las
celdas donde desea se reflejen los resultados de Introduzca la
fórmula de la función objetivo en la celda G12.
=B3*B12+C3*C12 M y S (en este caso B12 y C12). Haga clic en
“Solver” y se mostrará un cuadro de
diálogo “Parámetros de Solver”. En el
espacio superior izquierdo del cuadro de diálogo mostrado,
donde se solicita la celda objetivo coloque $G$12. En los
círculos blancos donde se solicita el “valor de la
celda objetivo” Introduzca las fórmulas en las
celdas G5, G6, y G7; ellas reflejarán los valores que
adquieren las condiciones de restricción una vez resuelto
el problema. indique “Máximo”. El modelo
matemático pide maximizar Z.(haga clic sobre la palabra
máximo). En el espacio central izquierdo, donde se
solicita “cambiando las celdas” – Celda G5 – Celda G6
– Celda G7 =B5*B12+C5*C12 =B6*B12+C6*C12 =B7*B12+C7*C12 indique
las celdas donde se propuso anteriormente que se mostraran los
resultados de cada incógnita. En este caso son las celdas
B12 y C12, coloque $B$12:$C$12. Ejercicios resueltos de
PROGRAMACION LINEAL Ing. José Luis Albornoz Salazar
– 32 – En el espacio en blanco, en la parte inferior izquierda,
“Sujetas a las siguientes Restricciones” indique las
restricciones o condiciones del problema, para lo cual haga clic
en “Agregar”. Todas las restricciones son del tipo
< = . En este caso se le ordena al programa que los valores de
las celdas G5, G6 y G7 deben ser menores o iguales a los de las
celdas E5, E6 y E7 respectivamente. Ahora todo está listo
para hacer clic en “Resolver” y después de
unos segundos Solver indicará los resultados en las celdas
B12 y C12, y en la celda objetivo (G12) aparecerá el valor
máximo de la función objetivo (Zmáx). En el
cuadro final “Resultados de Solver”, haga clic en
“Aceptar”. – Coloque: $G$5:$G$7 <= $E$5:$E$7 Y
aparecerá la hoja de resultados: También puede
hacerlo una a una como en el ejercicio anterior. Antes de pedir a
¨Solver” que resuelva el modelo, se elige el
botón “Opciones” y aparecerá el cuadro
de diálogo “Opciones de Solver”. Los
resultados de este ejercicio se “leen” de la
siguiente manera: M = 16 S = 96 Este cuadro permite especificar
las opciones para resolver el modelo. Lo más importante
son las opciones “Adoptar Modelo Lineal” y
“Asumir no negativos” (asegúrese de hacer clic
sobre ellos). Con un clic en “Aceptar” se regresa al
cuadro de diálogo “Parámetros de
Solver”. Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL Para
maximizar la utilidad BFC debe ensamblar 16 mesas y 96 sillas
durante los 10 días. La utilidad máxima que
obtendrá al vender las cantidades indicadas anteriormente
será de 6.690,oo dólares. Zmáx = $ 6.690,oo
Ing. José Luis Albornoz Salazar
(1) (2) (3) (4) (2) 8 4 6 2 y – 33 – EJERCICIO 3 : Jack es un
estudiante emprendedor 2) Jack quiere estudiar por lo menos (
> = ) tanto como juega: de primer año de universidad.
Jack quiere distribuir su tiempo Xe > = Xj que es igual a – Xj
+ Xe > = 0 disponible, de alrededor de 10 horas al día,
entre el estudio y la diversión. Calcula que el juego es
dos veces más divertido que el estudio. También
quiere estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, Jack
comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias,
no puede jugar más de cuatro horas al día. ¿
Cómo debe distribuir Jack su tiempo para maximizar su 3)
Jack comprende que si quiere terminar sus tareas no puede jugar
más ( < = ) de 4 horas al día: Xj < = 4 De
manera que el Modelo de Programación Lineal (MPL)
quedará satisfacción tanto en el estudio como en el
juego.? expresado como: MAXIMIZAR Z = 2 Xj + Xe Respuesta:
Primero defino las variables de decisión que tratamos de
determinar y en la pregunta, al final del enunciado, notamos que
se refiere al tiempo para estudio y para juego que debe
distribuir Jack. Por lo tanto, las variables de decisión
del modelo se pueden definir como: Xe = Horas de estudio al
día. Xj = Horas de juego al día. Solución
Gráfica: Xj (1) Sujeto a; Xj + Xe < = 10 – Xj + Xe >
= 0 Xj <= 4 Xj , Xe > = 0 Conociendo las variables, la
siguiente tarea es encontrar la función objetivo. El
objetivo es lograr la máxima satisfacción tanto en
el estudio como en el juego. Si “Z” representa la
satisfacción diaria y el juego es dos veces más
divertido que el estudio, obtendremos que : Z = 2 Xj + Xe El
último elemento del modelo aborda las restricciones que
limitan el empleo del tiempo: Z=10 Punto óptimo (3)
Zmáxima 1) Jack quiere distribuir el tiempo disponible
(< =) de alrededor de 10 horas al día, entre el estudio
y la diversión: 2 4 6 8 10 Xe Xj + Xe < = 10 El punto
óptimo (donde Z alcanza el máximo valor) es la
intersección de las rectas (1) y (3) representado por el
par ordenado ( 6 , 4) , donde: (Las horas destinadas al juego
más las horas destinadas al estudio serán menores o
iguales a 10 horas diarias que es el tiempo disponible de Jack)
Xe = 6 Xj = 4 Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL Ing.
José Luis Albornoz Salazar
; – 34 – Lo que significa que para maximizar su
satisfacción Jack dedicará 4 horas al juego y 6
horas diarias al estudio.. La máxima satisfacción
se calcula sustituyendo estos valores en la función
objetivo (Z). Z = 2 Xj + Xe Z = 2 (4) + 6 Zmáx = 14
“unidades de satisfacción” DESPLIEGUE Y
SOLUCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO EN LA HOJA DE
CÁLCULO EXCEL: Haga clic en “Solver” y se
mostrará un cuadro de diálogo
“Parámetros de Solver”. El procedimiento es
similar al utilizado en el Ejercicio 1. Coloque en la FILA 3 los
valores que acompañan las incógnitas o variables de
decisión en la función objetivo Z. Introduzca las
restricciones que aparecen en el modelo matemático.
Introduzca “ceros” en las celdas donde desea se
reflejen los resultados de Xj y Xe (en este caso B12 y C12).
Introduzca las fórmulas en las celdas G5, G6, y G7; ellas
reflejarán los valores que adquieren las condiciones de
restricción una vez resuelto el problema. En el espacio
superior izquierdo del cuadro de diálogo mostrado, donde
se solicita la celda objetivo coloque $G$12. En los
círculos blancos donde se solicita el “valor de la
celda objetivo” indique “Máximo”. El
modelo matemático pide maximizar Z.(haga clic sobre la
palabra máximo). En el espacio central izquierdo, donde se
solicita “cambiando las celdas” indique las celdas
donde se propuso anteriormente que se mostraran los resultados de
cada incógnita. En este caso son las celdas B12 y C12,
coloque $B$12:$C$12. – Celda G5 – Celda G6 – Celda G7
=B5*B12+C5*C12 =B6*B12+C6*C12 =B7*B12+C7*C12 Introduzca la
fórmula de la función objetivo en la celda G12. –
G12 =B3*B12+C3*C12 Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL
Ing. José Luis Albornoz Salazar
– 35 – En el espacio en blanco, en la parte inferior izquierda,
“Sujetas a las siguientes Restricciones” indique las
restricciones o condiciones del problema, para lo cual haga clic
en “Agregar”. Los resultados de este ejercicio se
“leen” de la siguiente manera: Xj = 4 Xe = 6 Antes de
pedir a ¨Solver” que resuelva el modelo, se elige el
botón “Opciones” y aparecerá el cuadro
de diálogo “Opciones de Solver”. Este cuadro
permite especificar las opciones para resolver el modelo. Lo
más importante son las opciones “Adoptar Modelo
Lineal” y “Asumir no negativos”
(asegúrese de hacer clic sobre ellos). Con un clic en
“Aceptar” se regresa al cuadro de diálogo
“Parámetros de Solver”. Ahora todo está
listo para hacer clic en “Resolver” y después
de unos segundos Solver indicará los resultados en las
celdas B12 y C12, y en la celda objetivo (G12) aparecerá
el valor máximo de la función objetivo
(Zmáx). En el cuadro final “Resultados de
Solver”, haga clic en “Aceptar”. Y
aparecerá la hoja de resultados: Ejercicios resueltos de
PROGRAMACION LINEAL Para maximizar su satisfacción, Jack
dedicará 4 horas al juego y 6 horas diarias al estudio. La
máxima satisfacción que alcanzará Jack
será de: Zmáx = 14 “unidades de
satisfacción” Ing. José Luis Albornoz
Salazar
– (2) – , Xp 100.000 Xa – 36 – EJERCICIO 4 : El banco de Elkin
está asignando un El modelo de PL quedará expresado
como: máximo de $ 200.000,oo para préstamos
personales y de automóviles durante el próximo mes.
El banco cobra 14% por préstamos MAXIMIZAR Z = 0,10 Xa +
0,11 Xp personales y 12% por préstamos para
automóviles. Ambos tipo de préstamos se liquidan al
final de un período de un año. La experiencia
muestra que alrededor del 3% de los préstamos personales y
el 2% de los préstamos para automóviles nunca se
liquidan. Por lo común, el banco asigna cuando menos el
doble de los préstamos personales a los préstamos
para automóviles. Determine la asignación
óptima de fondo para los dos tipos de préstamos.
Sujeta a las siguientes restricciones: El banco está
asignando un máximo de $200.00,oo para préstamos
personales y de automóviles: Xa + Xp < = 200.000 (1) –
Por lo común el banco asigna cuando menos el doble de los
préstamos personales a los préstamos para
automóviles: Respuesta: Xa > = 2 Xp que es igual a Xa –
2 Xp > = 0 Al analizar el enunciado del problema observamos
claramente que las variables se relacionan con dos tipos de
créditos: Xa = Cantidad de dinero asignada a los
préstamos para autos. Condición de no negatividad:
Xa Xp >= 0 (3) = Cantidad de dinero asignada a los
préstamos personales. El objetivo principal está
relacionado lógicamente con la mayor utilidad que
Solución Gráfica: Xp obtendrá el banco con
la asignación de esos dos tipos de préstamo. Por lo
que debemos tener presente que la utilidad viene dada por la
diferencia entre lo que obtengo y lo que pierdo o dejo de ganar.
200.000 (1) Punto óptimo (2) Obtengo 14% por
préstamos personales y 12% por préstamos para
automóviles, pero después observo que nunca se
liquidan o se pierden 3% de lo préstamos personales y 2%
de los préstamos para autos. Entonces la función
objetivo puede ser expresada como: Z = (12% Xa + 14% Xp) –
(2% Xa + 3% Xp) O también: 100.000 Z = 22.000 200.000 Z =
12% Xa – 2% Xa + 14% Xp – 3% Xp Z = 10% Xa + 11% Xp
Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL Verifique que el
punto (Xa =100.000, Xp =0) cumple con las dos restricciones. Ing.
José Luis Albornoz Salazar
y – 37 – El punto óptimo (donde Z alcanza el máximo
valor) es la intersección de las rectas (1) y (2)
representado por el par ordenado (133330 , 66670) , donde: Xa =
133.330,oo Xp = 66.670,oo Lo que significa que para maximizar su
utilidad el banco debe asignar $133.330,oo para préstamos
de automóviles y $66.670,oo para préstamos
personales. La máxima utilidad se calcula sustituyendo
estos valores en la función objetivo (Z): Z = 0,10
(133.330) + 0,11 (66.670) Zmáx = $ 20.667,oo DESPLIEGUE Y
SOLUCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO EN LA HOJA DE
CÁLCULO EXCEL: El procedimiento es similar al utilizado en
el Ejercicio 1. Coloque en la FILA 3 los valores que
acompañan las incógnitas o variables de
decisión en la función objetivo Z. Introduzca las
restricciones que aparecen en el modelo matemático.
Introduzca “ceros” en las celdas donde desea se
reflejen los resultados de Xa y Xp (en este caso B12 y C12).
Introduzca las fórmulas en las celdas G5 y G6 ; ellas
reflejarán los valores que adquieren las condiciones de
restricción una vez resuelto el problema. Haga clic en
“Solver” y se mostrará un cuadro de
diálogo “Parámetros de Solver”. En el
espacio superior izquierdo del cuadro de diálogo mostrado,
donde se solicita la celda objetivo coloque $G$12. En los
círculos blancos donde se solicita el “valor de la
celda objetivo” indique “Máximo”. El
modelo matemático pide maximizar Z.(haga clic sobre la
palabra máximo). En el espacio central izquierdo, donde se
solicita “cambiando las celdas” indique las celdas
donde se propuso anteriormente que se mostraran los resultados de
cada incógnita. En este caso son las celdas B12 y C12,
coloque $B$12:$C$12. En el espacio en blanco, en la parte
inferior izquierda, “Sujetas a las siguientes
Restricciones” indique las restricciones o condiciones del
problema, para lo cual haga clic en “Agregar”. –
Celda G5 – Celda G6 =B5*B12+C5*C12 =B6*B12+C6*C12 Introduzca la
fórmula de la función objetivo en la celda G12. –
G12 =B3*B12+C3*C12 Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL
Ing. José Luis Albornoz Salazar
(1) – 38 – EJERCICIO 5 : Popeye Canning tiene un contrato para
recibir 60.000,oo libras de tomates maduros a 7 centavos de
dólar por libra, con los cuales produce jugo de tomate
enlatado, así como pasta de tomate. Los productos
enlatados se empacan en cajas de 24 latas. Una lata de jugo
requiere una libra de tomate y una lata de pasta solo requiere
1/3 de libra. La participación de mercado de la Antes de
pedir a ¨Solver” que resuelva el modelo, se elige el
botón “Opciones” y aparecerá el cuadro
de diálogo “Opciones de Solver”. Este cuadro
permite especificar las opciones para resolver el modelo. Lo
más importante son las opciones “Adoptar Modelo
Lineal” y “Asumir no negativos”
(asegúrese de hacer clic sobre ellos). Con un clic en
“Aceptar” se regresa al cuadro de diálogo
“Parámetros de Solver”. Ahora todo está
listo para hacer clic en “Resolver” y después
de unos segundos Solver indicará los resultados en las
celdas B12 y C12, y en la celda objetivo (G12) aparecerá
el valor máximo de la función objetivo
(Zmáx). En el cuadro final “Resultados de
Solver”, haga clic en “Aceptar”. Y
aparecerá la hoja de resultados: compañía se
limita a 2000 cajas de jugo y 6000 cajas de pasta. Los precios de
mayoreo por caja de jugo y de pasta son de 18 y 9 dólares
respectivamente. Desarrolle un programa de producción
óptima para Popeye Canning. Respuesta: Es muy importante
fijar o definir las unidades en que debemos trabajar; en este
problema vemos que se enfoca muchas veces “cajas de 24
latas” cada una. Lo importante es tener claro que una vez
escogida la “unidad de estudio” debo trabajar
únicamente con dicha unidad. Como en este problema
queremos desarrollar un programa óptimo de
producción y los productos son cajas de 24 latas de jugo y
pasta de tomate, las variables de decisión serán:
Xj = Cajas de 24 latas de jugo de tomate a producir. Xp = Cajas
de 24 latas de pasta de tomate a producir. La función
objetivo se relacionará directamente con la utilidad o
ganancia máxima, en tal sentido el modelo de
programación lineal quedará expresado como:
MAXIMIZAR Z = 18 Xj + 9 Xp Sujeta a las siguientes restricciones:
Como la “unidad de trabajo” escogida son cajas de 24
latas, las restricciones también tienen que ser indicadas
en dichas unidades. 1) Una lata de jugo requiere una libra de
tomate (24 latas requerirán 24 libras) y una lata de pasta
solo requiere 1/3 de libra (24 latas requerirán 24 x 1/3 =
8 libras) y el total de libras de tomates que puedo utilizar es
de 60.000,oo : 24 Xj + 8 Xp < = 60.000 Xa = 133.333,oo Xp =
66.667,oo Zmáx = $ 20.667,oo Ejercicios resueltos de
PROGRAMACION LINEAL 2) La participación de mercado de la
compañía se limita a 2.000 cajas de jugo y 6.000
cajas de pasta: Xj < = 2.000 (2) Xp < = 6.000 (3) Ing.
José Luis Albornoz Salazar
, Xp 4000 y – 39 – – Condición de no negatividad: Xj Xp
>= 0 (4) DESPLIEGUE Y SOLUCIÓN DEL MODELO
MATEMÁTICO EN LA HOJA DE CÁLCULO EXCEL:
Solución Gráfica: El procedimiento es similar al
utilizado en el Ejercicio 1. Cuando se vaya a implementar el
procedimiento que se señala en este 8000 6000 2000 Punto
óptimo (2) (1) Z = 72.000 (3) texto es bueno aclarar que
una vez que ya haya desplegado cualquier ejercicio en la hoja de
cálculo Excel, se facilita el mismo debido a que puedo
utilizar la misma hoja y solamente tengo que introducir los
nuevos datos sobre los ya existentes, poniendo especial
énfasis en cambiar las restricciones en Solver. Todos los
demás pasos quedan intactos. La hoja de resultados de este
ejercicio será: 2000 4000 Xj Verifico que el punto (1000 ,
1000) cumple con todas las restricciones. Esto nos reafirma que
el área punteada es la zona factible de solución.
El punto óptimo (donde Z alcanza el máximo valor)
es la intersección de las rectas (1) y (3) representado
por el par ordenado (500 , 6000) , donde: Xj = 500,oo Xp =
6.000,oo Lo que significa que para maximizar su utilidad la
empresa debe producir 500 cajas de 24 latas de jugo de tomate y
6.000 cajas de 24 latas de pasta de tomate.. La máxima
utilidad se calcula sustituyendo estos valores en la
función objetivo (Z) Z = 18 (500) + 9 (6.000) Zmáx
= $ 63.000,oo Ejercicios resueltos de PROGRAMACION LINEAL Ing.
José Luis Albornoz Salazar
: (2) (3) (4) , X2 100 – 40 – EJERCICIO 6 Una empresa produce dos
tipos de 2) Si todos los sombreros producidos son del tipo 2, la
compañía puede producir un total de 400 sombreros:
sombrero. El sombrero tipo 1 requiere el doble de tiempo de
trabajo que el del tipo 2. Si todos los sombreros producidos
únicamente son del tipo 2, la compañía puede
producir un total de 400 sombreros al día. Los
límites diarios del mercado son de 150 del tipo 1 y 200
del tipo 2. La utilidad del sombrero tipo 1 es de $ 8,oo y la del
sombrero tipo 2 es de $ 5,oo. Determinar el número de
sombreros de cada tipo que debe producir la empresa para obtener
la máxima utilidad. X2 < = 400 3) Los límites
diarios del mercado son de 150 del tipo 1 y 200 del tipo 2: X1
< = 150 X2 < = 200 – Condición de no negatividad:
Respuesta: X1 X2 >= 0 (5) El problema enfoca directamente la
producción de dos tipos de sombrero, las variables
serán: X1 = Sombrero tipo 1 a producir diariamente. X2 =
Sombrero tipo 2 a producir diariamente. Solución
Gráfica: La función objetivo está
relacionada directamente con la utilidad que genera la venta de
dichos sombreros. El modelo de programación lineal 400 (3)
(1) (2) estará representado como: 300 MAXIMIZAR Z = 8 X1 +
5 X2 Sujeta a las siguientes restricciones: 200 Punto
óptimo (4) 1) El sombrero tipo 1 requiere el doble de
tiempo de trabajo que el del tipo 2.. Nótese que no se
habla ni de mayor o menor, ni de máximo o mínimo,
es Z = 1500 (valor arbitrario) decir no se habla de
límites sino de igualdad, por lo tanto la
restricción está dada por una igualdad: 2 X1 = X2
(1) 100 200 300 400 X1 En la mayoría de los problemas de
PL trabajamos con restricciones del tipo (< =) o del tipo
(> =) y se explicó que la recta graficada a partir de
ellas dividía al plano en dos partes, una que
cumplía con la restricción y la otra nó; en
el caso de la restricción de Igualdad (=), como este caso,
se grafica la recta y el punto óptimo se encontrará
OBLIGATORIAMENTE contenido en ella y en el espacio que cumpla con
todas las demás restricciones. Ejercicios resueltos de
PROGRAMACION LINEAL El área punteada contiene los puntos
que cumplen con las restricciones (2), (3) y (4) pero atendiendo
que la restricción (1) es una igualdad, el punto
óptimo se ubicará en dicha área pero
contenido en la mencionada recta X2 = 2X1. Ing. José Luis
Albornoz Salazar
ESTA PRESENTACIÓN CONTIENE MAS DIAPOSITIVAS DISPONIBLES EN
LA VERSIÓN DE DESCARGA
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